Tìm m để bất phương trình 2x2 − (2m + 1)x + m2 − 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi [x in left[ { frac{1}{2}; ;2} right] ]

Câu hỏi:

03/07/2023 1,313

Tìm m để bất phương trình 2x²− (2m + 1)x + m²− 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt f(x) =2x²− (2m + 1)x + m²− 2m + 2

Xét ∆ = −4m² + 20m − 15

+) Nếu \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le \frac{{5 - \sqrt {10} }}{2}\\m \ge \frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra f(x) ≥ 0 với mọi x (loại)

+) Nếu \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{{5 - \sqrt {10} }}{2};\;\frac{{5 + \sqrt {10} }}{2}} \right)\)

Khi đó f(x) có hai nghiệm

\({x_1} = \frac{{2m + 1 - \sqrt \Delta }}{4},\;{x_2} = \frac{{2m + 1 + \sqrt \Delta }}{4}\;\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\;\)

Và f(x) ≤ 0 khi x₁ ≤ x ≤ x₂

Do đó yêu cầu bài toán

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} \le \frac{1}{2}\\{x_2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 \le 2\sqrt \Delta \\7 - 2m \le \sqrt \Delta \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} \le 4\Delta \\{\left( {7 - 2m} \right)^2} \le \Delta \\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20{m^2} - 84m = 61 \le 0\\{m^2} - 6m + 8 \le 0\\\frac{1}{2} \le m \le \frac{7}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\)

Vậy \(2 \le m \le \frac{{21 + 2\sqrt {34} }}{{10}}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Câu 3