Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C1, A1, B1 sao cho các đường thẳng AA1, BB1, CC1, đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A1B1, B1C1, tại K và M tương ứng. CMR: OK = OM

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A1B1 và B1C1 lần lượt tại K1 và M1. Theo giả thiết: MK // AC Mà M1K1 // AC (theo cách vẽ) Suy ra: MK // M1K1. Xét tam giác B1K1M1 có MK // M1K1 Suy ra: [ frac{{MO}}{{B{M_1}}} = frac{{OK}}{{B{K_1}}} ] (*) Xét tam giác AB1C1 và tam giác BM1C1 có: ( widehat {A{C_1}{B_1}} = widehat {B{C_1}{M_1}} ) (2 góc đối đỉnh) ( widehat {A{B_1}{C_1}} = widehat {B{M_1}{C_1}} ) (2 góc so le trong vì AC // M1K1) Suy ra: ∆AB1C1 ᔕ ∆BM1C1 (g.g) Nên ( frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}} = frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} Rightarrow B{M_1} = A{B_1}. frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} ; left( 1 right) ) Tương tự: ∆CB1A1 ᔕ ∆BK1A1 (g.g) Nên ( frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}} = frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} Rightarrow B{K_1} = C{B_1}. frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} ; left( 2 right) ) Lấy (1) chia (2) ta được: ( frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}} = frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}} ,. , frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}} ,. , frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}} = 1 )(áp dụng định lí Xê–va) Suy ra: BM1 = BK1 (**) Từ (*) và (**), ta có: OM = OK Vậy OM = OK.

Câu hỏi:

03/07/2023 905

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C₁, A₁, B₁sao cho các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁, đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A₁B₁, B₁C₁, tại K và M tương ứng. CMR: OK = OM

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C1, A1, B1 sao cho các (ảnh 1)

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A₁B₁ và B₁C₁ lần lượt tại K₁ và M₁.

Theo giả thiết: MK // AC

Mà M₁K₁ // AC (theo cách vẽ)

Suy ra: MK // M₁K₁.

Xét tam giác B₁K₁M₁ có MK // M₁K₁

Suy ra: \[\frac{{MO}}{{B{M_1}}} = \frac{{OK}}{{B{K_1}}}\] (*)

Xét tam giác AB₁C₁ và tam giác BM₁C₁ có:

\(\widehat {A{C_1}{B_1}} = \widehat {B{C_1}{M_1}}\) (2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {A{B_1}{C_1}} = \widehat {B{M_1}{C_1}}\) (2 góc so le trong vì AC // M₁K₁)

Suy ra: ∆AB₁C₁ᔕ ∆BM₁C₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{M_1}}}{{A{B_1}}} = \frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}} \Rightarrow B{M_1} = A{B_1}.\frac{{B{C_1}}}{{A{C_1}}}\;\left( 1 \right)\)

Tương tự: ∆CB₁A₁ᔕ ∆BK₁A₁ (g.g)

Nên \(\frac{{B{K_1}}}{{C{B_1}}} = \frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}} \Rightarrow B{K_1} = C{B_1}.\frac{{B{A_1}}}{{C{A_1}}}\;\left( 2 \right)\)

Lấy (1) chia (2) ta được:

\(\frac{{B{M_1}}}{{B{K_1}}} = \frac{{A{B_1}}}{{B{C_1}}}\,.\,\frac{{C{A_1}}}{{B{A_1}}}\,.\,\frac{{C{B_1}}}{{A{C_1}}} = 1\)(áp dụng định lí Xê–va)

Suy ra: BM₁ = BK₁ (**)

Từ (*) và (**), ta có: OM = OK

Vậy OM = OK.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Câu 3