Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+ z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:\(P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do x; y; z ≥ 0 và x+y+ z = 1 nên suy ra 0 ≤ x; y; z ≤ 1

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le x\\{y^2} \le y\\{z^2} \le z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + x + 1 \le {x^2} + 2x + 1\\2{y^2} + y + 1 \le {y^2} + 2y + 1\\2{z^2} + z + 1 \le {z^2} + 2z + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)

\( \le \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {z + 1} \right)}^2}} \)

= x + y + z + 3 = 4

Vậy P_max = 4 khi (x; y; z) = (0; 0; 1) và các hoán vị.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Câu 3