Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh: \[{{\rm{a}}^2}\overrightarrow {IA} + {b^2}\overrightarrow {IB} + {c^2}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \] với BC = a, AC = b và AB = c.

Lời giải

Xét DABC vuông tại A có AH là đường cao nên BH.BC = AB² và CH.BC = AC²

Suy ra \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IB} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IC} \)

Do I là trung điểm của AH nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IH} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IB} + \frac{{{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

\[ \Leftrightarrow \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\overrightarrow {IA} + {b^2}\overrightarrow {IB} + {c^2}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2}\overrightarrow {IA} + {b^2}\overrightarrow {IB} + {c^2}\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \].