Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Lời giải:

a) Vì 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\) nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\).

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

c) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cos α < 0. Mặt khác, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = \sqrt 5 .\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).

d) Ta có: \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = - \sqrt 2 \).

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên cos α > 0. Mặt khác, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra

\(\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = - \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải:

a) Trong 1 giây, bánh xe đạp quay được \(\frac{{11}}{5}\) vòng.

Vì một vòng ứng với góc bằng 360° nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là

\(\frac{{11}}{5} \cdot 360 = 792^\circ \).

Vì một vòng ứng với góc bằng 2π nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là

\(\frac{{11}}{5} \cdot 2\pi = \frac{{22\pi }}{5}\) (rad).

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được \(60 \cdot \frac{{11}}{5} = 132\) vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π . 132 = 89 760π (mm) = 89,76π (m).