Câu hỏi:

13/07/2024 47,166

Chứng minh các đẳng thức:

a) cos4 α – sin4 α = 2cos2 α – 1;

b) \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Áp dụng sin2 α + cos2 α = 1, suy ra sin2 α = 1 – cos2 α.

Ta có: VT = cos4 α – sin4 α = (cos2 α)2 – (sin2 α)2

= (cos2 α + sin2 α)(cosα – sin2 α)

= 1 . (cosα – sin2 α)

= cos2 α – (1 – cos2 α)

= 2cos2 α – 1 = VP (đpcm).

b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ta có: \(VT = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\tan }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

\( = {\cot ^2}\alpha + \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} - \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\)\( = {\cot ^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 - {\cot ^2}\alpha \)

\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - 1 = {\tan ^2}\alpha = VP\) (đpcm).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

a) Vì 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\) nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin2 α + cos2 α = 1 suy ra

\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\).

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin2 α + cos2 α = 1 suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

c) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cos α < 0. Mặt khác, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = - \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}} = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = \sqrt 5 .\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).

d) Ta có: \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = - \sqrt 2 \).

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \) nên cos α > 0. Mặt khác, từ \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra

\(\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Mà \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = - \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải

Lời giải:

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên sin α < 0. Mặt khác, từ sin2 α + cos2 α = 1 suy ra

\(\sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP