Câu hỏi:
13/07/2024 2,805
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, A'B'. Chứng minh rằng:
a) BD // B'D', (A'BD) // (CB'D') và MN // (BDD'B');
b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, A'B'. Chứng minh rằng:
a) BD // B'D', (A'BD) // (CB'D') và MN // (BDD'B');
b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.
Câu hỏi trong đề:
Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương IV có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song và bằng nhau.
Xét tứ giác BDD'B' có BB' = DD' và BB' // DD' nên BDD'B' là hình bình hành.
Suy ra BD // B'D'. Do đó, BD // (CB'D').
Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên A'D' // B'C' và A'D' = B'C'.
Vì BCC'B' là hình bình hành nên BC // B'C' và BC = B'C'.
Do đó, A'D' // BC và A'D' = BC nên A'D'CB là hình bình hành.
Suy ra A'B // D'C. Do đó, A'B // (CB'D').
Mặt phẳng (A'BD) chứa hai đường thẳng cắt nhau BD và A'B cùng song song với mặt phẳng (CB'D') nên (A'BD) // (CB'D').
Gọi E là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Khi đó E là trung điểm của AC và BD. Lại có M là trung điểm của AD nên ME là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra ME // AB và ME = \(\frac{1}{2}\)AB (1).
Vì N là trung điểm của A'B' nên NB' = \(\frac{1}{2}A'B'\). Mà AB = A'B' và AB // A'B' nên suy ra NB' // AB và NB' = \(\frac{1}{2}\)AB (2).
Từ (1) và (2) suy ra ME // NB' và ME = NB' nên tứ giác MEB'N là hình bình hành.
Suy ra MN // B'E.
Vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (BDD'B'), do đó đường thẳng B'E nằm trong mặt phẳng (BDD'B').
Vậy MN // (BDD'B').
b) Vì E thuộc AC nên E thuộc mặt phẳng (ACC'A').
Trong mặt phẳng (ACC'A') gọi G là giao điểm của A'E và AC', gọi I là giao điểm của AC' và AC.
Mà E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (A'BD) nên A'E nằm trong mặt phẳng (A'BD). Vì G thuộc A'E nên G thuộc mặt phẳng (A'BD). Do đó, G là giao điểm của AC' và mặt phẳng (A'BD).
Tứ giác ACCA' có AA' = CC' và AA' // CC' nên ACC'A' là hình bình hành.
Suy ra I là giao điểm của hai đường chéo AC' và A'C nên I là trung điểm của AC' và A'C.
Xét tam giác AA'C có AI, A'E là các đường trung tuyến và G là giao của AI và A'E (do G là giao của AC' và A'E) nên G là trọng tâm của tam giác AA'C.
Suy ra \(\frac{{A'G}}{{AE}} = \frac{2}{3}\).
Xét tam giác A'BD có A'E là đường trung tuyến (do E là trung điểm của BD) và \(\frac{{A'G}}{{AE}} = \frac{2}{3}\) nên G là trọng tâm của tam giác A'BD.
Vậy đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a) (SAD) và (SBC);
b) (SAB) và (SCD);
c) (SAC) và (SBD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB // CD và AB < CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
a) (SAD) và (SBC);
b) (SAB) và (SCD);
c) (SAC) và (SBD).
Xem đáp án »
13/07/2024
17,458
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{1}{3}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC. Tỉ số \(\frac{{SK}}{{SC}}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{1}{3}\).
C. \(\frac{1}{4}\).
D. \(\frac{2}{3}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
16,903
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD.
a) Chứng minh rằng GK // (ABCD).
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD.
a) Chứng minh rằng GK // (ABCD).
b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.
Xem đáp án »
13/07/2024
14,568
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng
A. (CDM).
B. (ACM).
C. (ADM).
D. (ACD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Đường thẳng SB song song với mặt phẳng
A. (CDM).
B. (ACM).
C. (ADM).
D. (ACD).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,213
Câu 5:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng b. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,906
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SD}}\).
b) Chứng minh rằng MN // (SAD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.
a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SD}}\).
b) Chứng minh rằng MN // (SAD).
Xem đáp án »
13/07/2024
4,079
Câu 7:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số \(\frac{{KB'}}{{KC}}\).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA'.
a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.
b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C. Tính tỉ số \(\frac{{KB'}}{{KC}}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,628
về câu hỏi!