Câu hỏi:

11/07/2024 2,240

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\).

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số \({x_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\). Rút gọn f(xn) và tính giới hạn của dãy (un) với un = f(xn).

c) Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn ≠ 2 và xn 2, tính f(xn) và tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

\(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - {{\left( {\frac{{2n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}}\)\( = \frac{{4 - {{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\left( {2 + \frac{1}{n}} \right) - 2}} = \frac{{4 - \left( {4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\frac{1}{n}}}\) \(\frac{{ - \frac{1}{n}\left( {4 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\frac{1}{n}}} = - 4 - \frac{1}{n}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = - 4\).

c) Ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - x_n^2}}{{{x_n} - 2}} = \frac{{\left( {2 - {x_n}} \right)\left( {2 + {x_n}} \right)}}{{ - \left( {2 - {x_n}} \right)}} = - 2 - {x_n}\).

Vì xn ≠ 2 và xn 2 với mọi n nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = 2\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 2 - {x_n}} \right) = - 2 - 2 = - 4\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\).

Xem đáp án » 12/07/2024 9,502

Câu 2:

Tính các giới hạn một bên:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}}\).

Xem đáp án » 11/07/2024 9,245

Câu 3:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\).

Xem đáp án » 12/07/2024 8,969

Câu 4:

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Xem đáp án » 12/07/2024 8,098

Câu 5:

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\).

Xem đáp án » 11/07/2024 5,451

Câu 6:

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right)\).

Xem đáp án » 12/07/2024 5,444

Câu 7:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Xem đáp án » 12/07/2024 5,344
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua