Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\).
a) Cho \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\) và \({x'_n} = 1 + \frac{1}{n}\). Tính yn = f(xn) và y'n = f(x'n).
b) Tìm giới hạn của các dãy số (yn) và (y'n).
c) Cho các dãy số (xn) và (x'n) bất kì sao cho xn < 1 < x'n và xn ⟶ 1, x'n ⟶ 1, tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\).
a) Cho \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\) và \({x'_n} = 1 + \frac{1}{n}\). Tính yn = f(xn) và y'n = f(x'n).
b) Tìm giới hạn của các dãy số (yn) và (y'n).
c) Cho các dãy số (xn) và (x'n) bất kì sao cho xn < 1 < x'n và xn ⟶ 1, x'n ⟶ 1, tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)\].
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
a) Ta có: \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\) với mọi n > 0 \( \Rightarrow {x_n} - 1 < 0\) với mọi n > 0.
Do đó, \({y_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {{x_n} - 1} \right|}}{{{x_n} - 1}}\)\( = \frac{{ - \left( {{x_n} - 1} \right)}}{{{x_n} - 1}} = - 1\).
Ta cũng có: \({x'_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) với mọi n > 0 ⇒ x'n – 1 > 0 với mọi n > 0.
Do đó, \({y'_n} = f\left( {{{x'}_n}} \right) = \frac{{\left| {{{x'}_n} - 1} \right|}}{{{{x'}_n} - 1}}\)\( = \frac{{{{x'}_n} - 1}}{{{{x'}_n} - 1}} = 1\).
b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {y_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - 1} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {y'_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 1 = 1\).
c) Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\)\( = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 > 0\,\,\,\,\,\\\frac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 < 0\end{array} \right.\)\( = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 > 0\,\,\,\,\,\\ - 1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x - 1 < 0\end{array} \right.\)
Vì xn < 1 < x'n, suy ra xn – 1 < 0 và x'n – 1 > 0 với mọi n.
Do đó, f(xn) = – 1 và f(x'n) = 1.
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) = – 1 và \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)\] = 1.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Sách - Sổ tay kiến thức trọng tâm Vật lí 11 VietJack - Sách 2025 theo chương trình mới cho 2k8 ( 45.000₫ )
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải:
a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\), x – 1 > 0 với mọi x > 1 và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} \right) = 1 - 2 = - 1 < 0\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {4 - x} \right) = 0\), 4 – x > 0 với mọi x < 4 và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {4^2} - 4 + 1 = 13 > 0\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}} = + \infty \).
Lời giải
Lời giải:
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 1}} \cdot \frac{1}{{x - 2}}\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{2}{{x - 1}} = \frac{2}{{2 - 1}} = 2 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \) (do x – 2 > 0 khi x > 2).
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{2}{{x - 1}} = \frac{2}{{2 - 1}} = 2 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{x - 2}} = - \infty \) (do x – 2 < 0 khi x < 2).
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = - \infty \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.