Câu hỏi:
11/07/2024 174Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\) và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\).
Hàm số f(x) xác định trên [0; 1], do đó \(x = \frac{1}{2}\) thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} \left( {2x} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = 1\), do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = 1\)
Mà \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
Vậy hàm số f(x) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
+) Hàm số \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\).
Hàm số g(x) xác định trên [0; 1], do đó \(x = \frac{1}{2}\) thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} x = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right)\).
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại \(x = \frac{1}{2}\), do đó hàm số g(x) gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\).
+) Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
|
Giá mở cửa (0,5 km đầu) |
Giá cước các km tiếp theo đến 30 km |
Giá cước từ km thứ 31 |
|
10 000 đồng |
13 500 đồng |
11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Câu 2:
Câu 3:
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\).
Câu 4:
Câu 5:
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\\ - x + m\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\end{array} \right.\)
liên tục trên ℝ.
Câu 6:
về câu hỏi!