Câu hỏi:
09/07/2023 115Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.
Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\) và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
+) Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\).
Hàm số f(x) xác định trên [0; 1], do đó \(x = \frac{1}{2}\) thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} \left( {2x} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = 1\), do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = 1\)
Mà \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
Vậy hàm số f(x) liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
+) Hàm số \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\).
Hàm số g(x) xác định trên [0; 1], do đó \(x = \frac{1}{2}\) thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} x = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} 1 = 1\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} g\left( x \right)\).
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số g(x) tại \(x = \frac{1}{2}\), do đó hàm số g(x) gián đoạn tại \(x = \frac{1}{2}\).
+) Quan sát Hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền trên (0; 1), còn đồ thị của hàm số y = g(x) trên (0; 1) là các đoạn rời nhau.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
Giá mở cửa (0,5 km đầu) |
Giá cước các km tiếp theo đến 30 km |
Giá cước từ km thứ 31 |
10 000 đồng |
13 500 đồng |
11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
Câu 3:
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\);
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\).
Câu 4:
Tìm giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\\ - x + m\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\end{array} \right.\)
liên tục trên ℝ.
Câu 5:
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x \ne 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x = 1.\end{array} \right.\)
Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với f(1).
Câu 7:
về câu hỏi!