Câu hỏi:
12/07/2024 2,932
Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);
b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \);
c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\].
Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);
b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \);
c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\].
Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương V có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}\).
b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \)\( = \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{3^2} + {5^2}}}{{{6^2}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\)
\( = \left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}}} \right) + \left( {\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}}} \right) + \left( {\frac{{{3^2}}}{{{6^2}}} + \frac{{{5^2}}}{{{6^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)\)
\( = \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^0} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^0}} \right) + \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^1} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^1}} \right) + \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^2}} \right) + ... + \left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right)\)
\( = \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^0} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^1} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] + \left[ {{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^0} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^1} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right]\)
Vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\) và công bội là \(\frac{1}{2}\) nên
\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} + \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}}\)\( = 1 + \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).
Tương tự, ta tính được:
\({\left( {\frac{5}{6}} \right)^0} + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^1} + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^0} + \frac{{\frac{5}{6}\left( {1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{5}{6}}}\)\( = 1 + 5\left( {1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right) = 6 - 5 \cdot {\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\).
Do đó, \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \) \( = \left[ {2 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] + \left[ {6 - 5 \cdot {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right]\) \( = 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5 \cdot {\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5 \cdot {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right]\) = 8.
c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\]
Ta có: \[\left| {{{\rm{w}}_n}} \right| = \left| {\frac{{\sin \,n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}} < \frac{1}{n}\] và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{w}}_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sin \,n}}{{4n}} = 0\).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{{{\left( {\sqrt {x + 2} } \right)}^2} - {3^2}}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt {7 + 2} + 3}} = \frac{1}{6}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{1^2} + 1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2 - x} \right) = 2 - 1 = 1 > 0\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 - x} \right)^2} = 0\) và (1 – x)2 > 0 với mọi x ≠ 1.
Do vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = + \infty \).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2}\left( {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\)\( = - \frac{1}{2}\).
Lời giải
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({u_1} = \frac{2}{{{3^1}}} = \frac{2}{3}\), \({u_2} = \frac{2}{{{3^2}}} = \frac{2}{9}\), do đó công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{2}{9}:\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).
Khi đó, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 1\).Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.