Tính các giới hạn một bên:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương V có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\)

Với mọi x > 3, ta có x – 3 > 0 nên |x – 3| = x – 3.

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x + 3} \right) = 6\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 > 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - x} = 0\)

Và với mọi x < 1, ta có 1 – x > 0, suy ra \(\sqrt {1 - x} > 0\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} = + \infty \).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{{{\left( {\sqrt {x + 2} } \right)}^2} - {3^2}}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {x - 7} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}\)\( = \frac{1}{{\sqrt {7 + 2} + 3}} = \frac{1}{6}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{1^2} + 1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2 - x} \right) = 2 - 1 = 1 > 0\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\left( {1 - x} \right)^2} = 0\) và (1 – x)² > 0 với mọi x ≠ 1.

Do vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = + \infty \).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2}\left( {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}\)\( = - \frac{1}{2}\).

Câu 2

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 6.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({u_1} = \frac{2}{{{3^1}}} = \frac{2}{3}\), \({u_2} = \frac{2}{{{3^2}}} = \frac{2}{9}\), do đó công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{2}{9}:\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Khi đó, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 1\).

Câu 3