Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\) không tồn tại.

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số (u_n) bằng

A. 1.

B. 2.

C. – 1.

D. 0.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. – 1.

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\).

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 0\end{array} \right.\) tại điểm x = 0;

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + x\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\2 - x\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\) tại điểm x = 1.

Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);

b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \);

c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\].

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 6.