Hai máy bay cùng bay quãng đường 600 km. Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là 300 km/h. Gọi x km/h là tốc độ của máy bay thứ nhất (x > 0). Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay;

b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay;

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay.

Lời giải

Chiều dài của vườn hoa là: x ‒ 2 ‒ 2 = x ‒ 4 (m).

Chiều rộng của vườn hoa là: y ‒ 2 ‒ 2 = y ‒ 4(m).

a) Diện tích của mảnh đất là: xy (m²).

Diện tích của vườn hoa là: (x ‒ 4)(y ‒ 4) = xy ‒ 4x ‒ 4y + 16 (m²).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa là:

\(\frac{{xy}}{{xy - 4x - 4y + 16}}\).

b) Chu vi của mảnh đất là: 2(x + y) (m).

Chu vi của vườn hoa là: 2(x ‒ 4 + y ‒ 4) = 2(x + y ‒ 8) (m).

Phân thức biểu thị tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa là:

\(\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{2\left( {x + y - 8} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x + y - 8}}\).

Lời giải

a) Ta có: \(M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)

\( = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}.\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2} - 4{y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right)}}{{\left( {3x + 6y} \right)\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2y} \right){{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3.\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}} = \frac{1}{3}\).

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) \(N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right].\left[ {\frac{{x - y}}{{y\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{{x^2} + xy - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{x - y + 2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{xy - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{y\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = 1\).

Vậy giá trị của N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \left[ {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - \frac{{xy\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}} \right].\frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - xy\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}.\frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - xy} \right)}}{{x + y}}.\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{x - y}}{{x + y}} + \frac{{2y}}{{x + y}} = \frac{{x + y}}{{x + y}} = 1\).

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến.