Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) với x > y > 4, bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như ở Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo x, y:

a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.

b) Tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa.

Lời giải

a) Ta có: \(M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)

\( = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}.\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2} - 4{y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right)}}{{\left( {3x + 6y} \right)\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 2y} \right){{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3.\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}} = \frac{1}{3}\).

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) \(N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right].\left[ {\frac{{x - y}}{{y\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{{x^2} + xy - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{x - y + 2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{xy - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{y\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = 1\).

Vậy giá trị của N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \left[ {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - \frac{{xy\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}} \right].\frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - xy\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}.\frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - xy} \right)}}{{x + y}}.\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

\( = \frac{{x - y}}{{x + y}} + \frac{{2y}}{{x + y}} = \frac{{x + y}}{{x + y}} = 1\).

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải

a) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}}:\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{1}{{{x^2} - x + 1}}.\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

\( = \frac{{1.\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^3} + 1}}\).

b) \(\frac{{x + y}}{{2x - y}}:\frac{1}{{x - y}} = \frac{{x + y}}{{2x - y}}.\frac{{x - y}}{1}\)

\( = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {2x - y} \right).1}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2x - y}}\).

c) \(\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}.\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^3}y + x{y^3}} \right).1}}{{{x^4}y.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{x^4}y.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^3}}}\).

d) \(\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 1}}:\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}\)

\( = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 1}}.\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 3x + 2}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^3} + 8} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}.\left[ {\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {3x + 3} \right)} \right]}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}.\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3.\left( {x + 1} \right)} \right]}}\)

\[ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1 + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {1 - x} \right).\left( {x + 2} \right)}}\]

\( = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{1 - x}}\).