Cho dãy số (un) với un=2n−1n+1. Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn.

Câu hỏi:

22/07/2023 9,887

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1:Dãy sốcó đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow - \frac{3}{n + 1} \geq - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2 - \frac{3}{n + 1} \geq 2 - \frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_{n} \geq \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n + 1} > 0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3} \leq u_{n} < 2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{n + 1 + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - 2 n^{2} - 3 n + 2}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n a + 2}{n + 1}$ . Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 1 + 1} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 2}$

Xét hiệu: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(n + 1) a + 2}{n + 2} - \frac{n a + 2}{n + 1} = \frac{[(n + 1) a + 2] (n + 1)}{(n + 2) (n + 1)} - \frac{(n a + 2) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{(n^{2} + 2 n + 1) a + 2 n + 2}{(n + 2) (n + 1)} - \frac{(n^{2} + 2 n) a + 2 n + 4}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{a - 2}{(n + 1) (n + 2)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Câu 2

Cho dãy số (u_n) xác định bởi: $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = 2 u_{n} (n \geq 1) \end{cases}$ .

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có:

n = 2 ≥ 1 nên u₂ = 2.u₁ = 2.3.

n = 3 ≥ 1 nên u₃ = 2.u₂ = 2.(2.3) = 2². 3.

n = 4 ≥ 1 nên u₄ = 2.u₃ = 2.(2².3) = 2³. 3.

b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 1}.3.

Câu 3

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với ; $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi u_n là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (u_n) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ . Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n a + 2}{n + 1}$ . Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi: $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = 2 u_{n} (n \geq 1) \end{cases}$ .

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với ; $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$