Tìm giá trị nhỏ nhất của A=1xy+1yz+1zx (x, y, z > 0) biết x2 + y2 + z2 ≤ 3.

Áp dụng bất đẳng thức a+b+c1a+1b+1c≥9 Với a = xy, b = yz, c = xz ta có xy+yz+xz1xy+1yz+1xz≥9 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: x2 + y2 ≥ 2xy (x, y > 0) z2 + y2 ≥ 2yz (y, z > 0) x2 + z2 ≥ 2xz (x, z > 0) Suy ra x2 + y2 + z2 + y2 + x2 + z2 ≥ 2xy + 2yz + 2xz ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz (2) Từ (1) và (2) suy ra: x2+y2+z21xy+1yz+1xz≥9 Hay 3A ≥ 9 Do đó A ≥ 3 Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi x = y = z.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,610

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = \frac{1}{x y} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{z x}$ (x, y, z > 0) biết x² + y² + z² ≤ 3.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức

(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9

Với a = xy, b = yz, c = xz ta có

$(x y + y z + x z) (\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z}) \geq 9$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

x² + y² ≥ 2xy (x, y > 0)

z² + y² ≥ 2yz (y, z > 0)

x² + z² ≥ 2xz (x, z > 0)

Suy ra x² + y² + z² + y² + x² + z²≥ 2xy + 2yz + 2xz

⇔ x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(x^{2} + y^{2} + z^{2}) (\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z}) \geq 9

Hay 3A ≥ 9

Do đó A ≥ 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi x = y = z.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 45° (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{3 a^{3}}{8}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra AM là trung tuyến của tam giác ABC

Do đó $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Mà tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC

Mà SA ⊥ BC nên BC ⊥ (SAM)

Suy ra (SBC) ⊥ (SAM)

Ta có SA ⊥ (ABC)

Suy ra (SAM) ⊥ (ABC)

Do đó góc giữa (SBC) và (ABC) là $\hat{S M A} = 45 °$

Xét tam giác SAM vuông tại A có $\hat{S M A} = 45 °$

Nên tam giác SAM vuông cân tại A

Suy ra $S A = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{1}{2} . (\frac{a \sqrt{3}}{2} . a) = \frac{a^{3}}{8}$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 2

Giải phương trình: log₂x + log₃x + log₄x = log₂₀x.

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện x > 0

Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có:

\log_{2} x + \log_{3} x + \log_{4} x = \log_{20} x

\Leftrightarrow \log_{2} x + \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 3} + \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 4} = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 20}

$\Leftrightarrow \log_{2} x (1 + \frac{1}{\log_{2} 3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\log_{2} 20}) = 0$

\Leftrightarrow \log_{2} x (\frac{3}{2} + \log_{2} 2 - \log_{20} 2) = 0

Ta có: $\frac{3}{2} + \log_{2} 2 - \log_{20} 2 > \frac{3}{2} + 0 - 1 > 0$

Do đó từ phương trình trên, ta phải có log₂x = 0 hay x = 2⁰ = 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 3) và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{- 2}; d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂.

A. $d : \frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{4}$

B. $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{3}$

C. $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1}$

D. $d : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho $\vec{u} = (2; - 1)$ và $\vec{v} = (4; 3)$ . Tính $\vec{u} . \vec{v}$

A. $\vec{u} . \vec{v} = (- 2; 7)$

B. $\vec{u} . \vec{v} = (2; - 7)$

C. $\vec{u} . \vec{v} = 5$

D. $\vec{u} . \vec{v} = - 5$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + 5x + 7.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải phương trình $s inx + \cos x . \sin 2 x + \sqrt{3} c o s 3 x = 2 (c o s 4 x + \sin^{3} x)$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Giải phương trình: 3x² – x – 1 = 0.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = \frac{1}{x y} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{z x}$ (x, y, z > 0) biết x² + y² + z² ≤ 3.

Giải phương trình: log₂x + log₃x + log₄x = log₂₀x.

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho $\vec{u} = (2; - 1)$ và $\vec{v} = (4; 3)$ . Tính $\vec{u} . \vec{v}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + 5x + 7.

Giải phương trình $s inx + \cos x . \sin 2 x + \sqrt{3} c o s 3 x = 2 (c o s 4 x + \sin^{3} x)$ .

Giải phương trình: 3x² – x – 1 = 0.