Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y2 + xy – 3x – 3y – 3.

Gọi A = x2 + y2 + xy – 3x – 3y – 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) – 6 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) – 6 =x−12+2x−1.12y−1+14y−12+34y−12−6 =x−1+12y−12+34y−12−6 Vì x−1+12y−12≥0,∀x,y 34y−12≥0,∀y Suy ra A ≥ – 6 với mọi x, y Dấu “ = ” xảy ra khi x−1+12y−12=034y−12=0 ⇔x−1+12y−1=0⇔y−1=0⇔x=y=1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là –6 khi x = y = 1.

Câu hỏi:

12/07/2024 2,970

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x² + y² + xy – 3x – 3y – 3.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi A = x² + y² + xy – 3x – 3y – 3

= (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) – 6

= (x – 1)² + (y – 1)² + (x – 1)(y – 1) – 6

= {(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1) . \frac{1}{2} (y - 1) + \frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} + \frac{3}{4} {(y - 1)}^{2} - 6

= {[(x - 1) + \frac{1}{2} (y - 1)]}^{2} + \frac{3}{4} {(y - 1)}^{2} - 6

Vì ${[(x - 1) + \frac{1}{2} (y - 1)]}^{2} \geq 0, \forall x, y$

\frac{3}{4} {(y - 1)}^{2} \geq 0, \forall y

Suy ra A ≥ – 6 với mọi x, y

Dấu “ = ” xảy ra khi $\{\begin{cases} {[(x - 1) + \frac{1}{2} (y - 1)]}^{2} = 0 \\ \frac{3}{4} {(y - 1)}^{2} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x - 1) + \frac{1}{2} (y - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là –6 khi x = y = 1.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 45° (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{3 a^{3}}{8}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra AM là trung tuyến của tam giác ABC

Do đó $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Mà tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC

Mà SA ⊥ BC nên BC ⊥ (SAM)

Suy ra (SBC) ⊥ (SAM)

Ta có SA ⊥ (ABC)

Suy ra (SAM) ⊥ (ABC)

Do đó góc giữa (SBC) và (ABC) là $\hat{S M A} = 45 °$

Xét tam giác SAM vuông tại A có $\hat{S M A} = 45 °$

Nên tam giác SAM vuông cân tại A

Suy ra $S A = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{1}{2} . (\frac{a \sqrt{3}}{2} . a) = \frac{a^{3}}{8}$ .