Xét mỗi dãy số sau:

● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)

● Cho số \(\sqrt 2 = 1,414213562...\) . Dãy số (u_n) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, u_n là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số \(\sqrt 2 \). Cụ thể là: u₁ = 1,4; u₂ = 1,41; u₃ = 1,414; u₄ = 1,4142; u₅ = 1,41421; ... (2)

● Dãy số (u_n) với (u_n) = (– 2)ⁿ (3)

● Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = u_n-1 + 2 với mọi n ≥ 2 (4)

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của P_n tính theo n.

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) \({u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\);

b) \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\);

c) u_n = (– 1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n² + 2;

b) u_n = – 2n + 1;

c) \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\).

a) Gọi u_n là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (u_n).

b) Gọi v_n là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v_n).

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức sau:

a) u_n = 2n² + 1;

b) u_n = \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n - 1}}\);

c) u_n = \(\frac{{{2^n}}}{n}\);

d) u_n = \({\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\).