Hình 4 mô tả một chiếc thước của người thợ sử dụng khi xây móng nhà để kiểm tra xem hai phần móng nhà có vuông góc với nhau hay không. Trên hình, ta đo được AB = 4 dm, AC = 3 dm và BC = 5 dm. Em hãy giải thích vì sao hai cạnh của chiếc thước đó vuông góc với nhau.

Do BD ⊥ d nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \), do đó tam giác ABD vuông tại D

Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {BAD} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°) (1)

Mà \[\widehat {BAD} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BAD} + \widehat {CAE} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {CAE}\).

Xét ∆ABD vuông tại D và ∆CAE vuông tại E có:

AB = CA, \(\widehat {ABD} = \widehat {CAE}\)

Do đó ∆ABD = ∆CAE (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AD = CE (hai cạnh tương ứng)

Khi đó AD² + AE² = CE² + AE² = AC² (do tam giác CAE vuông tại E)

Vậy AD² + AE² không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.

Vẽ các điểm M, N, P như hình vẽ.

Do tam giác ABM vuông tại M nên theo định lý Pythagore, ta có:

AB² = MB² + MA² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29        

Suy ra \[AB = \sqrt {29} \;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Tương tự, ta có:

• BC² = NB² + NC² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20. Suy ra \[BC = \sqrt {20} \;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

• AD² = AP² + DP² = 6² + 1² = 36 + 1 = 37. Suy ra \[AD = \sqrt {37} \;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy chu vi tứ giác ABCD là:

\[AB + BC + CD + AD = \sqrt {29} + \sqrt {20} + 2 + \sqrt {37} \approx 17,94\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].