Cho tứ giác MNPQ có PM là tia phân giác của góc NPQ, \(\widehat {QMN} = 110^\circ \), \(\widehat N = 120^\circ \), \(\widehat Q = 60^\circ \) (Hình 8c). Tính số đo các góc NPM, MPQ, QMP.

Trong tam giác ABC, ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BCA}} \right) = 180^\circ - \left( {135^\circ + 25^\circ } \right) = 20^\circ \).

Do AB // CD nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 20^\circ \) (hai góc so le trong).

Trong tam giác ACD, ta có: \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADC} + \widehat {ACD}} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ - 20^\circ } \right) = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 90^\circ \).

Trong tứ giác GHIK, ta có: \(\widehat {KGH} + \widehat H + \widehat I + \widehat K = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat H = 360^\circ - \left( {\widehat {KGH} + \widehat I + \widehat K} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 65^\circ + 90^\circ } \right) = 115^\circ \).

Trong tam giác GHE, ta có: \(\widehat H + \widehat {HGE} + \widehat {HEG} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HEG} = 180^\circ - \left( {\widehat {HGE} + \widehat H} \right) = 180^\circ - \left( {25^\circ + 115^\circ } \right) = 40^\circ \).

Mà \(\widehat {HEG} + \widehat {GEI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {GEI} = 180^\circ - \widehat {HEG} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).

Vậy \(\widehat {GEI} = 140^\circ \).