Chứng minh rằng: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

Trong tứ giác MNPQ, ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMN} + \widehat N + \widehat {NPQ} = 360^\circ \)

 Suy ra \(\widehat {NPQ} = 360^\circ - \left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 120^\circ + 60^\circ } \right) = 70^\circ \).

Do PM là tia phân giác của góc NPQ nên ta có:

\(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ \).

Trong tam giác MPQ, ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMP} + \widehat {MPQ} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {QMP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPQ} + \widehat Q} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 60^\circ } \right) = 85^\circ \).

Vậy \(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = 35^\circ \), \(\widehat {QMP} = 85^\circ \).

Trong tam giác ABC, ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BCA}} \right) = 180^\circ - \left( {135^\circ + 25^\circ } \right) = 20^\circ \).

Do AB // CD nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 20^\circ \) (hai góc so le trong).

Trong tam giác ACD, ta có: \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADC} + \widehat {ACD}} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ - 20^\circ } \right) = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 90^\circ \).