Câu hỏi:
13/07/2024 3,713
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat C = \widehat D\) và AD = BC. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat C = \widehat D\) và AD = BC. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình thang cân có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Do \(\widehat C = \widehat D\) nên tam giác ICD cân tại I. Suy ra ID = IC.
Mà AD = BC; ID = IA + AD; IC = IB + BC
Suy ra IA = IB.
Do đó, tam giác IAB cân tại I.
Xét DICD cân tại I có \(\widehat D = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\).
Xét DIAB cân tại I có \(\widehat {IAB} = \widehat {IBA} = \frac{{180^\circ - \widehat I}}{2}\).
Do đó \(\widehat {IAB} = \widehat D\), mà \(\widehat {IAB}\) và \(\widehat D\) nằm ở vị trí đồng vị
Suy ra AB // CD.
Tứ giác ABCD có AB // CD và \(\widehat C = \widehat D\) nên ABCD là hình thang cân.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
• Xét ∆ACD và ∆BDC có:
AD = BC;
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ABCD là hình thang cân);
CD là cạnh chung
Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) (hai góc tương ứng)
Tam giác PCD có \(\widehat {PCD} = \widehat {PDC}\) nên là tam giác cân tại P.
Suy ra PC = PD.
Mà AC = BD (do ∆ACD = ∆BDC);
AC = AP + PC; BD = PD + BD
Suy ra PA = PB nên P nằm trên đường trung trực của AB (1)
• Do AB // CD nên \(\widehat {QAB} = \widehat {ADC};\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các cặp góc đồng vị).
Mặt khác, \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (do ∆ACD = ∆BDC) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}\).
Do đó, tam giác QAB cân tại Q.
Suy ra QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của AB.
• Ta có: AD = BC và PA = PB suy ra QD = QC.
Do đó Q nằm trên đường trung trực của CD.
Mặt khác PC = PD (chứng minh trên) nên P cũng nằm trên đường trung trực của CD.
Suy ra PQ là đường trung trực của CD.
Vậy PQ là đường trung trực của cả hai đoạn AB và CD.
Lời giải
• Xét ∆ADM vuông tại M và ∆BCN vuông tại N có:
AD = BC; \(\widehat {ADM} = \widehat {BCN}\) (do ABCD là hình thang cân)
Do đó ∆ADM = ∆BCN (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AM = BN; DM = CN (các cặp cạnh tương ứng)
• Do AB // CD mà BN ⊥ CD nên BN ⊥ AB, do đó tam giác ABN vuông tại B.
Xét ∆ABN vuông tại B và ∆NMA vuông tại M có:
\(\widehat {BAN} = \widehat {MNA}\) (2 góc so le trong của AB // CD);
Cạnh AN chung
Do đó ∆ABN = ∆NMA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AB = NM (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = 3 cm nên NM = 3 cm.
• Ta có DM + NM + CN = CD và DM = CN nên 2DM + 3 = 6.
Suy ra DM = 1,5 cm.
Mà DN = DM + NM = 1,5 + 3 = 4,5 cm.
Trong tam giác ADM vuông tại M, ta có: AD2 = AM2 + DM2.
Suy ra AM2 = AD2 ‒ DM2 = 2,52 ‒ 1,52 = 4.
Vậy \(AM = \sqrt 4 = 2\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
Đề kiểm tra cuối kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề 25
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến có đáp án
-
Đề kiểm tra cuối kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề 1
-
Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
Đề cuối kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án- Đề 4