Câu hỏi:

13/07/2024 632

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

BN CM;

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE Chứng minh BN vuông góc CM (ảnh 1)

Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD AC, CE AB.

Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).

Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)\(\widehat {ACE}\), suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}\).

Do ∆CEM vuông tại E nên \(\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^\circ \).

Trong tam giác MOB có: \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BOM} = 180^\circ - \left( {\widehat {MBO} + \widehat {BMO}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy BN CM.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O của BD.

Suy ra AC là đường trung trực của BD. Do đó BM = DM, BN = DN.

Do ABCD là hình thoi nên BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).

Xét ∆ABE vuông tại E và ∆BCF vuông tại F có:

BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).

Do đó ∆ABE = ∆BCF  (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (do ABCD là hình thoi nên BD là đường phân giác của góc ABC) , suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\).

Xét ∆MBO vuông tại O và ∆NBO vuông tại O có:

\(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\), cạnh BO chung

Do đó ∆MBO = ∆NBO  (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra BM = BN (hai cạnh tương ứng)

Mà BM = DM và BN = DN, suy ra BM = DM = BN = DN.

Tứ giác BMDN có BM = DM = BN = DN nên BMDN là hình thoi.

Lời giải

Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là 18/5 m và 27/10 m. Tính chu vi và diện tích (ảnh 1)

Xét hình thoi ABCD có \(AC = \frac{{18}}{5}{\rm{\;m}},BD = \frac{{27}}{{10}}{\rm{\;m}}\).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Do ABCD là hình thoi nên AC BD, O là trung điểm của AC và BD.

Do O là trung điểm của AC nên \(OA = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\frac{{18}}{5}}}{2} = \frac{9}{5}{\rm{\;}}\)(m);

O là trung điểm của BD nên \(OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\frac{{27}}{{10}}}}{2} = \frac{{27}}{{20}}{\rm{\;}}\)(m).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OAB vuông tại O, ta có:

AB2 = OA2 + OB2.

Suy ra \(A{B^2} = {\left( {\frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{27}}{{20}}} \right)^2} = \frac{{81}}{{25}} + \frac{{729}}{{400}} = \frac{{81}}{{16}}\)

Do đó \(AB = \sqrt {\frac{{81}}{{16}}} = \frac{9}{4}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chu vi của hình thoi ABCD là: \(4AB = 4.\frac{9}{4} = 9\left( m \right)\).

Diện tích của hình thoi ABCD là: \(\frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.\frac{{18}}{5}.\frac{{27}}{{10}} = \frac{{243}}{{50}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay