Trong cuộc sống, chúng ta bắt gặp rất nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh của các mặt phẳng song song, chẳng hạn như giá để đồ (Hình 58).

Làm thế nào để nhận ra được hai mặt phẳng song song? Hai mặt phẳng song song thì có tính chất gì?   

Lời giải

a)

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

            AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

                    AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

      BC // (AFD);

      BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

b)

+) Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P).

• Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J.

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD).

• Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K.

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD).

• Ta có: IJ // (AFD);

             IK // (AFD);

             IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK).

Do đó (IJK) // (AFD).

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK).

+) Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P).

Trong mp(ABCD), xét DABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: \[\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}\].

Trong mp(ABEF), xét DABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: \[\frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{FM}}{{MB}}\].

Gọi O là tâm hình bình hành ABEF. Khi đó O là trung điểm của FB nên FO = OB.

Do M là trọng tâm của DABE nên \(MB = \frac{2}{3}OB\) và \(OM = \frac{1}{3}OB\).

Ta có: \[\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{FM}}{{MB}} = \frac{{FO + OM}}{{MB}} = \frac{{OB + \frac{1}{3}OB}}{{\frac{2}{3}OB}} = \frac{{\frac{4}{3}OB}}{{\frac{2}{3}OB}} = 2\].

Vậy \(\frac{{AM}}{{NC}} = 2\).

Lời giải

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung. Các điểm chung đó cùng nằm trên một đường thẳng.