Tìm độ dài x trong Hình 5.12.

Trong ∆ABC có AD là phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Trong ∆ADC có DE // AB nên $\frac{DB}{DC}=\frac{EA}{EC}$ (định lí Thalès trong tam giác).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{EA}{EC}$ nên AB.EC = AC.EA.

Trong ∆AIB, IM là phân giác của $\widehat{AIB}$ nên $\frac{MA}{MB}=\frac{IA}{IB}$ (tính chất đường phân giác của tam giác) (1)

Trong DAIC, IN là phân giác của $\widehat{AIC}$ nên $\frac{NA}{NC}=\frac{IA}{IC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác) (2)

AI là đường trung tuyến của ∆ABC nên I là trung điểm của BC, do đó IB = IC (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\frac{MA}{MB}=\frac{NA}{NC}$ 

Suy ra MN // BC (định lí Thales đảo).