Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Kẻ DE // AB (E ∈ AC). Chứng minh rằng: AB.EC = AC.EA.

Trong ∆AIB, IM là phân giác của $\widehat{AIB}$ nên $\frac{MA}{MB}=\frac{IA}{IB}$ (tính chất đường phân giác của tam giác) (1)

Trong DAIC, IN là phân giác của $\widehat{AIC}$ nên $\frac{NA}{NC}=\frac{IA}{IC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác) (2)

AI là đường trung tuyến của ∆ABC nên I là trung điểm của BC, do đó IB = IC (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\frac{MA}{MB}=\frac{NA}{NC}$ 

Suy ra MN // BC (định lí Thales đảo).

Trong ∆ABC có AD là phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}$ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Tương tự, ta có BE, CF lần lượt là tia phân giác của $\widehat{B},\widehat{C}$.

Suy ra $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC};\frac{FB}{FA}=\frac{CB}{CA}$.

Do đó: $\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{BF}{FA}=\frac{BA}{BC}\cdot \frac{AC}{AB}\cdot \frac{CB}{CA}=1$.