Chứng minh \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\).
Chứng minh \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2{{\rm{a}}^2}\)
\(\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2{b^2}\)
\(\frac{{{c^3}}}{a} + ac \ge 2{c^2}\)
Suy ra \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} + ab + bc + ac \ge 2{{\rm{a}}^2} + 2{b^2} + 2{c^2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ac} \right)\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM thì a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Do đó \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\)
Vậy \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có:
1 + 1 = 3 ⟺ 2 = 3
Giả sử ta có đẳng thức:
14 + 6 – 20 = 21 + 9 – 30
Đặt thừa số chung ta có
2 × (7 + 3 – 10) = 3 × (7 + 3 – 10)
Theo toán học thì hai tích bằng nhau và có thừa số thứ hai bằng nhau thì thừa số thứ nhất bằng nhau
Do đó 2 = 3
Phản biện:
+) Sự thật 2 không thể bằng 3. Bài toán này sai trong lí luận của chúng ta là ở chỗ ta kết luận rằng: Hai tích bằng nhau và có thừa số thứ hai bằng nhau thì thừa số thứ nhất cũng bằng nhau. Điều đó không phải bao giờ cũng đúng.
+) Kết luận đó đúng khi và chỉ khi hai thừa số bằng nhau đó khác 0. Khi đó ta có thể chia 2 vế của đẳng thức cho số đó. Trong trường hợp thừa số đó bằng 0, thì luôn luôn có a × 0 = b × 0 với bất kì giá trị nào của a và b.
Ta có: 1 + 1 = 2 + 1
Mà (1 + 1) × 0 = (2 + 1 ) × 0
Vậy 1 + 1 = 3.
Lời giải
Ta có:
P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
P = [(x – 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)]
P = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
P = (x2 + 5x)2 – 62
P = (x2 + 5x)2 – 36
Vì (x2 + 5x)2 ≥ 0 với mọi x
Nên (x2 + 5x)2 – 36 ≥ –36 với mọi x
Hay P ≥ –36 với mọi x
Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất bằng –36 khi x2 + 5x = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 5\end{array} \right.\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất P = –36 khi x = 0 hoặc x = –5.
Câu 3
A. \(y = {\left( {2 + \sqrt x } \right)^\pi }\)
B. \(y = {\left( {2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\pi }\)
C. \(y = {\left( {2 + {x^2}} \right)^\pi }\)
D\(y = {\left( {2 + x} \right)^\pi }\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. y = sinx . cos2x
B. \(y = {\sin ^3}x.cos\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)
C. \(y = \frac{{\tan x}}{{{{\tan }^2} + 1}}\)
D. y = cosx . sin3x.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập