Chứng minh rằng: a) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) b) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).

a) Ta có : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) ⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2 ⇔ – 2a2 – 2b2 – 2c2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 0 ⇔ – (a – b)2 – (b – c)2 – (a – c)2 ≤ 0 Vì (a – b)2 ≥ 0 với mọi a, b (b – c)2 ≥ 0 với mọi b, c (a – c)2 ≥ 0 với mọi a, c Nên – (a – b)2 – (b – c)2 – (a – c)2 ≤ 0 với mọi a, b, c Dấu " = " xảy ra khi a = b = c Vậy (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) b) Ta có: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ⇔ a2 – 2ab + b2 ≤ 2a2 + 2b2 ⇔ – a2 – 2ab – b2 ≤ 0 ⇔ – (a + b)2 ≤ 0 Vì (a – b)2 ≥ 0 với mọi a, b Nên – (a + b)2 ≤ 0 với mọi a, b Dấu "=" xảy a khi a = – b Vậy (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).

Câu hỏi:

12/07/2024 134

Chứng minh rằng:

a) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

b) (a + b)² ≤ 2(a² + b²).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có :

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a² + 3b² + 3c²

⇔ – 2a² – 2b² – 2c² + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 0

⇔ – (a – b)² – (b – c)² – (a – c)² ≤ 0

Vì (a – b)² ≥ 0 với mọi a, b

(b – c)² ≥ 0 với mọi b, c

(a – c)² ≥ 0 với mọi a, c

Nên – (a – b)² – (b – c)² – (a – c)² ≤ 0 với mọi a, b, c

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c

Vậy (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

b) Ta có: (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

⇔ a² – 2ab + b² ≤ 2a² + 2b²

⇔ – a² – 2ab – b² ≤ 0

⇔ – (a + b)² ≤ 0

Vì (a – b)² ≥ 0 với mọi a, b

Nên – (a + b)² ≤ 0 với mọi a, b

Dấu "=" xảy a khi a = – b

Vậy (a + b)² ≤ 2(a² + b²).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hãy chứng minh 1 + 1 = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

1 + 1 = 3 ⟺ 2 = 3

Giả sử ta có đẳng thức:

14 + 6 – 20 = 21 + 9 – 30

Đặt thừa số chung ta có

2 × (7 + 3 – 10) = 3 × (7 + 3 – 10)

Theo toán học thì hai tích bằng nhau và có thừa số thứ hai bằng nhau thì thừa số thứ nhất bằng nhau

Do đó 2 = 3

Phản biện:

+) Sự thật 2 không thể bằng 3. Bài toán này sai trong lí luận của chúng ta là ở chỗ ta kết luận rằng: Hai tích bằng nhau và có thừa số thứ hai bằng nhau thì thừa số thứ nhất cũng bằng nhau. Điều đó không phải bao giờ cũng đúng.

+) Kết luận đó đúng khi và chỉ khi hai thừa số bằng nhau đó khác 0. Khi đó ta có thể chia 2 vế của đẳng thức cho số đó. Trong trường hợp thừa số đó bằng 0, thì luôn luôn có a × 0 = b × 0 với bất kì giá trị nào của a và b.

Ta có: 1 + 1 = 2 + 1

Mà (1 + 1) × 0 = (2 + 1 ) × 0

Vậy 1 + 1 = 3.

Câu 2