Chứng minh đẳng thức sau

\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).

Lời giải

Vì \(\frac{\pi }{4}\) < x < \(\frac{\pi }{2}\) nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{9}{{10}}\) ⇒ sin x = \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 + \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{1}{{10}}\) ⇒ cos x = \(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = \(2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).

Theo công thức cộng, ta có

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}\).

\[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\].

Lời giải

a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\)

\( = \left( {\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\( = 2\sin \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{7\pi }}{9}}}{2}.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{7\pi }}{9}}}{2} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\( = 2\sin \frac{{4\pi }}{9}.\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\( = \sin \frac{{4\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\( = \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\( = \sin \frac{{5\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} = 0\).

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

      = \(\frac{1}{2}\sin 12^\circ \) cos 12° cos 24° cos 48°

      = \(\frac{1}{4}\) sin 24° cos 24° cos 48°

      = \(\frac{1}{8}\) sin 48° cos 48°

      = \(\frac{1}{{16}}\)sin 96°

      = \(\frac{1}{{16}}\)sin(90° + 6°) = \(\frac{1}{{16}}\)cos 6°.

Vậy B = \(\frac{1}{{16}}\).