Câu hỏi:
13/07/2024 13,626Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có
sin A + sin B + sin C = \(4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
\(VT = \sin A + \sin B + \sin C\)\( = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\).
Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên \(\frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\).
Từ đó suy ra: \(\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2},\,\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{{A + B}}{2}\).
Vậy \(VT = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{C}{2}\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)\)
\( = 2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{{\frac{{A - B}}{2} + \frac{{A + B}}{2}}}{2}\cos \frac{{\frac{{A - B}}{2} - \frac{{A + B}}{2}}}{2}\)
\( = 4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left( { - \frac{B}{2}} \right)\)
\( = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = VP\) (điều phải chứng minh).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho cos 2x = \( - \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\).
Tính sin x, cos x, \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\), \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Câu 2:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\);
b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.
Câu 3:
Chứng minh đẳng thức sau
\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).
Câu 4:
Câu 5:
Chứng minh rằng:
a) \(\cos a - \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\);
b) \(\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản (P1)
93 Bài tập trắc nghiệm Lượng giác lớp 11 có lời giải (P1)
75 câu trắc nghiệm Giới hạn nâng cao (P1)
10 Bài tập Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan (có lời giải)
10 Bài tập Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa (có lời giải)
75 câu trắc nghiệm Giới hạn cơ bản (P1)
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản (P1)
về câu hỏi!