Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

\(y = 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)\)

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải

a) Vì \( - 1 \le \sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 1\) nên \( - 2,5 \le 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2,5\) và do đó ta có

\(2 - 2,5 \le 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2 + 2,5\)

hay \( - 0,5 \le 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 4,5\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi \(\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} + k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Do x ≥ 0 nên \(x = \frac{1}{2} + k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm \(\frac{1}{2},\,\,\frac{3}{2},\,\,\frac{5}{2},...\) phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi \(\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Do x ≥ 0 nên \(x = k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi \(2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do x ≥ 0 nên \(x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm \(x = \frac{1}{4}\) phút.