Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

\(y = 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)\)

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải

Vì \( - 1 \le \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1\) nên \( - 2,83 \le 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 2,83\), do đó

\(12 - 2,83 \le 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 12 + 2,83\)

hay \(9,17 \le 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 14,83\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = - \frac{{45}}{4} + 365k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 1 suy ra t = \( - \frac{{45}}{4}\) + 365 = 353,75.

Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{685}}{4} + 365k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 0 suy ra t = \(\frac{{685}}{4}\) = 171,25.

Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

\(12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 10\)

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = - \frac{{200}}{{283}}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) \approx - 0,78 + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) \approx 3,93 + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Từ đó ta được \(\left[ \begin{array}{l}t \approx 34,69 + 365k\\t \approx 308,3 + 365k\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 0 suy ra t ≈ 34,69 hoặc t ≈ 308,3.

Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố A sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.

Lời giải

a) Ta có sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0

⇔ sin(2x + 15°) = – cos(2x – 15°)

⇔ sin(2x + 15°) = – sin[90° – (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin[– 90° + (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin(2x – 105°)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 15^\circ = 2x - 105^\circ + k360^\circ \\2x + 15^\circ = 180^\circ - \left( {2x - 105^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}120^\circ = k360^\circ \\x = 67,5^\circ + k90^\circ \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Không xảy ra trường hợp 120° = k360°.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 67,5° + k90° (k ∈ ℤ).

b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left[ {\pi - \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{6} - 3x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{5} = \frac{{7\pi }}{6} - 3x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{5} = - \left( {\frac{{7\pi }}{6} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{29\pi }}{{150}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{{41\pi }}{{30}} - k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Ta có tan x + cot x = 0

⇔ tan x = – cot x

⇔ tan x = cot(π – x)

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\pi - x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = x - \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} - k\pi = 0\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Vô lí.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện cos x ≠ 0 .

Ta có sin x + tan x = 0

\( \Leftrightarrow \sin x + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \frac{1}{{\cos x}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\1 + \frac{1}{{\cos x}} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = - 1\end{array} \right.\)

⇔ sin x = 0 (do sin² x + cos² x = 1)

⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vì x = kπ (k ∈ ℤ) thoả mãn điều kiện cos x ≠ 0 nên nghiệm của phương trình đã cho là

x = kπ (k ∈ ℤ).