Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

\(L\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right)\) với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Lời giải

a) Vì \( - 1 \le \sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 1\) nên \( - 2,5 \le 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2,5\) và do đó ta có

\(2 - 2,5 \le 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2 + 2,5\)

hay \( - 0,5 \le 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 4,5\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi \(\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} + k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Do x ≥ 0 nên \(x = \frac{1}{2} + k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm \(\frac{1}{2},\,\,\frac{3}{2},\,\,\frac{5}{2},...\) phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi \(\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Do x ≥ 0 nên \(x = k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi \(2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do x ≥ 0 nên \(x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm \(x = \frac{1}{4}\) phút.

Lời giải

a) Ta có sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0

⇔ sin(2x + 15°) = – cos(2x – 15°)

⇔ sin(2x + 15°) = – sin[90° – (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin[– 90° + (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin(2x – 105°)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 15^\circ = 2x - 105^\circ + k360^\circ \\2x + 15^\circ = 180^\circ - \left( {2x - 105^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}120^\circ = k360^\circ \\x = 67,5^\circ + k90^\circ \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Không xảy ra trường hợp 120° = k360°.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 67,5° + k90° (k ∈ ℤ).

b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left[ {\pi - \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{6} - 3x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{5} = \frac{{7\pi }}{6} - 3x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{5} = - \left( {\frac{{7\pi }}{6} - 3x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{29\pi }}{{150}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{{41\pi }}{{30}} - k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Ta có tan x + cot x = 0

⇔ tan x = – cot x

⇔ tan x = cot(π – x)

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\pi - x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = x - \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} - k\pi = 0\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Vô lí.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện cos x ≠ 0 .

Ta có sin x + tan x = 0

\( \Leftrightarrow \sin x + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \frac{1}{{\cos x}}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\1 + \frac{1}{{\cos x}} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = - 1\end{array} \right.\)

⇔ sin x = 0 (do sin² x + cos² x = 1)

⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vì x = kπ (k ∈ ℤ) thoả mãn điều kiện cos x ≠ 0 nên nghiệm của phương trình đã cho là

x = kπ (k ∈ ℤ).