Cho tam giác ABC cân tại A  $\left(\widehat{A}<90°\right),$ các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{ACE}}$;

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

a) Xét tứ giác ABDC có: AM = MD (M ∈ AD); BM = MC (M ∈ BC).

Suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành.

Ta lại có $\widehat{\text{BAC}}=90°$ (do ∆ABC vuông tại A).

Do đó, tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật (theo câu a), suy ra AB = CD và AB // CD.

Do E đối xứng với A qua B nên B, A, E thẳng hàng và AB = BE.

Vì AB // CD nên BE // CD.

Vì AB = CD và AB = BE nên CD = BE.

Xét tứ giác BEDC có BE // CD và BE = CD nên là hình bình hành.

c) ∆AED có hai đường trung tuyến EM và DB cắt nhau tại K, nên K là trọng tâm của tam giác AED.

Suy ra $\text{EK}=\frac{2}{3}\text{EM}$ và $KM=\frac{1}{3}EM$ nên EK = 2KM.

a) Do MN ⊥ DE tại N, MK ⊥ DF tại K nên $\widehat{\text{MND}}=90°$ và $\widehat{\text{MKD}}=90°$

Tứ giác DKMN có $\widehat{\text{KDN}}=90°;$ $\widehat{\text{MKD}}=90°;$ $\widehat{\text{MND}}=90°$ nên DKMN là hình chữ nhật.

b) ∆DEF vuông tại D và DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

$\text{MD}=\frac{1}{2}\text{EF}=\text{ME}$.

Suy ra ∆MDE cân tại M.

Ta lại có MN ⊥ DE tại N, suy ra đường cao MN cũng đồng thời là đường trung tuyến của ∆MDE, suy ra $\text{ND}=\text{NE}=\frac{\text{DE}}{2}$.

Tứ giác DHEM có: ND = NE và NH = NM (do H là điểm đối xứng với M qua N).

Suy ra DHEM là hình bình hành.

Do đó DH // ME và DH = ME.

Mà M là trung điểm EF nên ME = MF

Khi đó DH // MF và DH = MF nên tứ giác DHMF là hình bình hành.

Hơn nữa, O là trung điểm của DM, suy ra O cũng là trung điểm của HF.

Vậy H, O, F thẳng hàng.

c) Hình chữ nhật DKMN là hình vuông khi DM là đường phân giác của $\widehat{\text{KDN}}$, hay DM là đường phân giác của .

Khi đó DM là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác xuất phát từ D của ∆DEF

Do đó ∆DEF cân tại D

Suy ra ∆DEF vuông cân tại D.

Vậy ∆DEF vuông cân tại D thì DKMN là hình vuông.