Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút T_n mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.

Đáp án đúng là: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u₂, u₉, u₄₄. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Khi đó ta có:

u₂ = u₁ + d;

u₉ = u₁ + 8d = (u₁ + d) + 7d = u₂ + 7d;

 u₄₄ = u₁ + 43d = (u₁ + d) + 42d = u₂ + 42d.

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: 

$u_2{u}_{44}=u_9^2$ hay u₂(u₂ + 42d) = (u₂ + 7d)².

Và tổng của 3 số đó là 217 nên u₂ + u₉ + u₄₄ = u₂ + u₂ + 7d + u₂ + 42d = 3u₂ + 49d = 217.

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{u}_2\left(u_2+42d\right)={\left(u_2+7d\right)}^2\\ 3u_2+49d=217\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2=7\\ d=4\end{array}\right.$.

Do đó u₁ = u₂ – d = 7 – 4 = 3.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$ hay $210=\frac{n}{2}\left[2.3+\left(n-1\right).4\right]$ ⇔ 210 = n(2n + 1)

⇔ 2n² + n – 210 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-\frac{21}{2}\end{array}\right.$.

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án D là dãy số bị chặn. Thật vậy:

Ta có $u_n=\frac{2-n}{n+1}=\frac{-\left(n+1\right)+3}{n+1}=-1+\frac{3}{n+1}$.

Vì n > 0 nên $\frac{3}{n+1}>0$. Suy ra $-1+\frac{3}{n+1}>-1$.

Vì n ≥ 1 nên n + 1 ≥ 2 $\Rightarrow \frac{3}{n+1}\le \frac{3}{2}\Rightarrow -1+\frac{3}{n+1}\le \frac{1}{2}$.

Vậy $-1<u_n\le \frac{1}{2}$ nên dãy số này bị chặn.