Cho un=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính limn→+∞un .

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có: un=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn=1−an+11−a1−bn+11−b=1−b1−a.1−an+11−bn+1 Do đó, limn→+∞un=limn→+∞1−b1−a.1−an+11−bn+1=1−b1−a (do |a| < 1, |b| < 1).

Cho un= 1+ a+a^2+...+a^n/ 1+b+b62+..+b^n với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b|

Câu 1

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2)$ ;

Xem đáp án

Lời giải

a, $\lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2)$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + 2 n - {(n + 2)}^{2}}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n + 2}$

$= \lim_{n \to + \infty} \frac{- 2 n - 4}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n + 2} = \lim_{n \to + \infty} \frac{- 2 - \frac{4}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Câu 2

Cho tam giác A₁B₁C₁ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, ..., A_nB_nC_n,... Kí hiệu s_n là diện tích của tam giác A_nB_nC_n.

a) Tính s_n.

Xem đáp án

Lời giải

a)

Cho tam giác A1B1C1 có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A2B2C2 bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B1C1, C1A1, A1B1. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A3B3C3, ..., AnBnCn,... Kí hiệu sn là diện tích của tam giác AnBnCn. (ảnh 1)

Theo cách xác định tam giác A₂B₂C₂, ta có s₂ = $\frac{1}{4}$ s₁.

Tương tự, s₃ = $\frac{1}{4}$ s₂, ...., $s_{n} = \frac{1}{4} s_{n - 1}$ .

Vậy $s_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1} s_{1} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1} .3 = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

Câu 3