Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$ ).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$ ).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^n}$ ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right),$  rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính S(α) theo $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ .

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

c) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)$  và $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}& \text{ khi }x\ne -3\\ a& \text{ khi }x=-3.\end{array}\right.$

a) Tìm $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(OM-MH\right).$

Biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+a}{x-1}=b$  với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 4, lim(v_n – 3) = 0.

lim[u_n(u_n – v_n)] bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Cho dãy số (u_n) thoả mãn $\lim n{u}_n=\frac{1}{2}.$  Tìm lim(3n – 4)u_n.