Cho hàm số $f\left(x\right)=co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$ . Tính đạo hàm f'(x) và chứng tỏ f'(x) = 0 với mọi x Î ℝ.

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h'(t) = ${\left(v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\right)}^{\text{'}}$$=v_0-gt$

Tại thời điểm vật chạm đất thì h = 0 (t > 0) tức là $v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2=0$

$\iff t\left(v_0-\frac{1}{2}gt\right)=0$$\iff v_0-\frac{1}{2}gt=0$$\iff t=\frac{2v_0}{g}$

Vận tốc khi vật chạm đất là $v\left(\frac{2v_0}{g}\right)=v_0-g.\frac{2v_0}{g}=-v_0$  (m/s).

Vậy vận tốc khi vật chạm đất là −v₀ m/s.

Vận tốc của hạt sau t giây là v(t) = s'(t) = ${\left(10+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right)}^{\text{'}}$

$=\sqrt{2}cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\cdot {\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}$$=4\sqrt{2}\pi cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$

Vì $\left|cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right|\le 1$  nên $\left|4\sqrt{2}\pi cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right|\le 4\sqrt{2}\pi$   hay $\left|v\left(t\right)\right|\le 4\sqrt{2}\pi$

Do đó vận tốc cực đại của hạt là $4\sqrt{2}\pi \approx 17,8$  m/s đạt được khi $\left|cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right|=1$$\iff \sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$$\iff 4\pi t+\frac{\pi }{6}=k\pi$$\iff t=-\frac{1}{24}+\frac{1}{4}k$ , với k Î ℕ^*.

Vậy vận tốc cực đại của hạt khoảng 17,8 m/s khi $t=-\frac{1}{24}+\frac{1}{4}k$,với k Î ℕ^*.