Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB=a2 và OC = 2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC.

Kẻ OD ^ BC tại D. Có OA ^ OB, OA ^ OC nên OA ^ (OBC), suy ra OA ^ BC mà OD ^ BC nên BC ^ (OAD). Kẻ OE ^ AD tại E. Vì BC ^ (OAD) nên BC ^ OE mà OE ^ AD nên OE ^ (ABC). Do đó d(O, (ABC)) = OE. Xét tam giác OBC vuông tại O, OD là đường cao có: 1OD2=1OB2+1OC2=12a2+14a2=34a2. Vì OA ^ (OBC) nên OA ^ OD. Xét tam giác AOD vuông tại O, OE là đường cao nên 1OE2=1OA2+1OD2=1a2+34a2=74a2⇒OE=2a77. Vậy d(O, (ABC))=2a77 .

Câu hỏi:

11/07/2024 8,598

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, $O B = a \sqrt{2}$ và OC = 2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương VII có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, và OC = 2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC. (ảnh 1)

Kẻ OD ^ BC tại D.

Có OA ^ OB, OA ^ OC nên OA ^ (OBC), suy ra OA ^ BC mà OD ^ BC nên

BC ^ (OAD).

Kẻ OE ^ AD tại E.

Vì BC ^ (OAD) nên BC ^ OE mà OE ^ AD nên OE ^ (ABC).

Do đó d(O, (ABC)) = OE.

Xét tam giác OBC vuông tại O, OD là đường cao có:

$\frac{1}{O D^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}}$ .

Vì OA ^ (OBC) nên OA ^ OD.

Xét tam giác AOD vuông tại O, OE là đường cao nên

$\frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O D^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{3}{4 a^{2}} = \frac{7}{4 a^{2}} \Rightarrow O E = \frac{2 a \sqrt{7}}{7}$ .