Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ AH ^ (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = $\hat{A B H}$ .

Vì AB = AC = AD nên HD = HB = HC hay H là tâm của tam giác BCD.

Gọi M là giao điểm của BH là CD.

Vì tam giác BCD đều cạnh a nên BM là đường cao, trung tuyến và $B M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , suy ra $B H = \frac{2}{3} B M = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác ABH vuông tại H có: $c o s \hat{A B H} = \frac{B H}{A B} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Xem đáp án

Lời giải

b) Vì SA ^ (ABCD) nên BC ^ SA mà BC ^ AB nên BC ^ (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà $(S B, S C) = \hat{B S C}$ .

Xét tam giác SAB vuông tại A, có $S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: $\tan \hat{B S C} = \frac{B C}{S B} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Câu 2

Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m. Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?

Xem đáp án

Lời giải

Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở m (ảnh 1)

Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.

Xét tam giác ABH vuông tại H, $\hat{A B H} = 60 °$ , AB = 10 m = 1 000 cm.

Ta có AH = AB × sin60° » 866 (cm).

Vậy hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất khoảng 866 centimét.

Câu 3