Câu hỏi:

12/07/2024 11,208

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau: (ảnh 1)

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $⊥$ AC.

Xét tam giác SBD có SD = SB nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $⊥$ BD.

Do đó SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ AB.

Kẻ OH $⊥$ AB tại H mà SO $⊥$ AB. Khi đó AB $⊥$ (SOH). Suy ra AB $⊥$ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà $(S H, H O) = \hat{S H O}$ .

Xét tam giác ABC có OH là đường trung bình nên $O H = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SAH vuông tại H, có $A H = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}; S A = a$ .

Khi đó $S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác SHO vuông tại O, có $c o s \hat{S H O} = \frac{O H}{S H} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm (ảnh 1)

a) Vì tam giác SAD đều, SH là trung tuyến nên SH là đường cao hay SH $⊥$ AD.

Ta có (SAD) $⊥$ (ABCD) và SH $⊥$ AD nên SH $⊥$ (ABCD).

Suy ra CH là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà .

Vì tam giác SAD đều cạnh a, SH là đường cao nên $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác DHC vuông tại D, có $H C = \sqrt{D C^{2} + D H^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Xét tam giác SHC vuông tại H, có $S C = \sqrt{S H^{2} + C H^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{5 a^{2}}{4}} = a \sqrt{2}, c o s \hat{S C H} = \frac{H C}{S C} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Câu 2

Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) $⊥$ (ABC) và (CDM) $⊥$ (ABD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (ảnh 1)

Câu 3

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

a) Chứng minh rằng AH $⊥$ (BCD).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

b) Chứng minh rằng (SMD) $⊥$ (SHC).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang). Coi viên bi chịu tác dụng của hai lực chính là lực hút của Trái Đất (theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới) và phản lực, vuông góc với mặt phẳng nằm nghiêng, hướng lên trên. Giải thích vì sao viên bi di chuyển trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng nằm nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau: a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);

Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) ⊥ (ABC) và (CDM) ⊥ (ABD).

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H. a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).

b) Chứng minh rằng (SMD) ⊥ (SHC).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);

Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) $⊥$ (ABC) và (CDM) $⊥$ (ABD).

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

a) Chứng minh rằng AH $⊥$ (BCD).

b) Chứng minh rằng (SMD) $⊥$ (SHC).