Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H.

a) Chứng minh rằng AH $\perp$ (BCD).

a) Vì tam giác SAD đều, SH là trung tuyến nên SH là đường cao hay SH $\perp$ AD.

Ta có (SAD) $\perp$ (ABCD) và SH $\perp$ AD nên SH $\perp$ (ABCD).

Suy ra CH là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà .

Vì tam giác SAD đều cạnh a, SH là đường cao nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác DHC vuông tại D, có $HC=\sqrt{D{C}^2+D{H}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Xét tam giác SHC vuông tại H, có $SC=\sqrt{S{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2},cos\widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{10}}{4}$.

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SBD có SD = SB nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ BD.

Do đó SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AB.

Kẻ OH $\perp$ AB tại H mà SO $\perp$ AB. Khi đó AB $\perp$ (SOH). Suy ra AB $\perp$ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà $\left(SH,HO\right)=\widehat{SHO}$.

Xét tam giác ABC có OH là đường trung bình nên $OH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác SAH vuông tại H, có $AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};SA=a$.

Khi đó $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác SHO vuông tại O, có $cos\widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\frac{\sqrt{3}}{3}$.