Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60°, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

a) Hạ AH ^ B'C' tại H. Khi đó d(A, B'C') = AH.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình chữ nhật, do đó AA' = BB' = CC' = a, AB = A'B' = a; AC = A'C' = a, BC = B'C'.

Xét tam giác ABB' vuông tại B, có $A{B}^{\text{'}}=\sqrt{A{B}^2+B{B^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác ACA' vuông tại A, có $A^{\text{'}}C=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Suy ra AC' = $a\sqrt{2}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Suy ra B'C' = $a\sqrt{2}$.

Do đó AB' = AC' = B'C' = $a\sqrt{2}$. Suy ra tam giác AB'C' đều.

Xét tam giác AB'C' đều có AH là đường cao nên $AH=\frac{A{B}^{\text{'}}\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Vậy d(A, B'C') = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

a) Kẻ BH $\perp$ AC tại H.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BH mà BH $\perp$ AC. Suy ra, BH $\perp$ (SAC).

Vì ABC là tam giác đều cạnh a có BH là đường cao nên $BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do đó d(B, (SAC)) = BH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.