Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3 m và đặt cách xa tòa nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5 m.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)

b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên \[\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\;\] hay AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có: \[\widehat A\] chung

Suy ra ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g) nên \[\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\;\] hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó \[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\].

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

\[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\] (chứng minh trên)

Do đó ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: 

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

Suy ra BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có \(\widehat B\) chung

Do đó ΔABC ᔕ ΔHBA (g.g).

Suy ra \[\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

Suy ra AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên \[AM = \frac{{A{H^2}}}{{AB}} = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76\,\,(cm)\]

• Từ (2): AN.AC = AH² nên \[AN = \frac{{A{H^2}}}{{AC}} = \frac{{7,{2^2}}}{{12}} = 4,32\,\,(cm)\]

Diện tích tam giác AMN là: 

\[\frac{1}{2}\,.\,5,76\,.\,4,32 = 12,4416\,\,(c{m^2})\].

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416 cm².