Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB.

b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

c) Chứng minh rằng ΔANM ᔕ ΔABC.

d) Cho biết AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AMH.

Lời giải:

Tam giác HED vuông tại H và tam giác DEF vuông tại D có   chung

Do đó ΔHED ᔕ ΔDEF (g.g)

Suy ra  (các cạnh tương ứng).

Do đó DE² = EH.EF (đpcm).

Lời giải:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3 m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Vì A'C' ⊥ A'B, AC ⊥ A'B, DE ⊥ A'B nên A'C' // AC // DE.

• ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC)

Suy ra \[\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Mà AC = 3 m; DE = 1,5 m nên 

\[\frac{{1,5}}{3} = \frac{{DB}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{DB}}{1} = \frac{{AB}}{2}\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{DB}}{1} = \frac{{AB}}{2} = \frac{{AB - DB}}{{2 - 1}} = \frac{{AD}}{1} = 1,2\]

Suy ra \[\frac{{DB}}{1} = 1,2\] nên DB = 1,2

\[\frac{{AB}}{2} = 1,2\] suy ra AB = 2,4

Do đó A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 (m)

• ΔACB ᔕ ΔA'C'B (vì AC // A'C')

Suy ra \[\frac{{AB}}{{A\prime B}} = \frac{{AC}}{{A\prime C\prime }}\] (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó \[A\prime C\prime = \frac{{AC.A\prime B}}{{AB}} = \frac{{2.29,4}}{{2,4}} = 24,5\,\,(m)\]

Vậy tòa nhà cao 24,5 m.