Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-1$ là:

Cho ${\int }_1^3\frac{2x+1}{x^2+3x+x}dx=a\ln 2 +b\ln 3 + c\ln 5,$với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.  Giá trị của a + b + c bằng:

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x,y=0,x=0 và x=2$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng I quanh trục Ox.

Biết rằng $x{e}^x$ là một nguyên hàm của hàm số f(-x) trên khoảng $\left(-\infty ,+\infty \right)$. Gọi F(x) là một nguyên hàm của $f\text{'}\left(x\right)e^x$ thỏa mãn F(0) =1, giá trị của F(-1) bằng:

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$,

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

Cho ${\int }_1^2(x+1)e^{x}dx=a{e}^2+be+c$ với a,b,c là các số nguyên. Tính a + b + c. 

Cho ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=2$. Tích phân ${\int }_1^3\left[2+f\left(x\right)\right]dx$  bằng