Cho ΔABC có đường trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho $BG=\frac{2}{3}BM$ và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm của CK, GE cắt AC tại I. Điểm I là trọng tâm của tam giác nào?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: ΔABC có hai đường trung tuyến BO, AM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $BI=\frac{2}{3}BO$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Ta có: ΔADC có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ΔABC.

Suy ra $DK=\frac{2}{3}DO$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)

Do đó: $BI=DK=\frac{2}{3}DO=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$

Suy ra $IK=BD-BI-DK=BD-\frac{1}{3}BD-\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}BD.$

Khi đó BI = IK = KD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG là trung tuyến của tam giác

Mà AG cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC

Do đó MB = MC.

Lại có BE = CF (giả thiết)

Nên MB + BE = MC + CF hay ME = MF.

Suy ra AM là đường trung tuyến ứng với cạnh EF của ΔAEF.

Mặt khác $AG=\frac{2}{3}AM$ (do G là trọng tâm của ΔABC).

Do đó G là trọng tâm của ΔAEF

Mà G là trọng tâm của ΔABC, nên hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm là điểm G.

Vậy ta chọn phương án A.