Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau:

(I) $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right);$

(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.

Chọn khẳng định đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Xét ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC, do đó $GB=\frac{2}{3}BE$ và $GC=\frac{2}{3}CF.$

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF>BC$

Hay $\frac{2}{3}\left(BE+CF\right)>BC$

Do đó $BE+CF>\frac{3}{2}BC$  (1).

Chứng minh tương tự ta được:

⦁ $AD+BE>\frac{3}{2}AB$  (2).

⦁ $AD+CF>\frac{3}{2}AC$  (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

$2AD+2BE+2CF>\frac{3}{2}AB+\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC$

Suy ra $2\left(AD+BE+CF\right)>\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)$

Do đó $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right).$

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’ (theo cách dựng);

$\widehat{ADB}=\widehat{A^{\text{'}}DC}$ (hai góc đối đỉnh);

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC)

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ 2BE < AB + BC (5).

⦁ 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.