Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau:
(I) \[AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right);\]
(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.
Chọn khẳng định đúng:
Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Cho các phát biểu sau:
(I) \[AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right);\]
(II) AD + BE + CF < AB + BC + AC.
Chọn khẳng định đúng:
A. Chỉ (I) đúng;
B. Chỉ (II) đúng;
C. Cả (I) và (II) đều đúng;
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
• Ta xét (I):
Xét ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC, do đó \(GB = \frac{2}{3}BE\) và \(GC = \frac{2}{3}CF.\)
∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra \(\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC\)
Hay \(\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\)
Do đó \(BE + CF > \frac{3}{2}BC\) (1).
Chứng minh tương tự ta được:
⦁ \(AD + BE > \frac{3}{2}AB\) (2).
⦁ \(AD + CF > \frac{3}{2}AC\) (3).
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:
\(2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC\)
Suy ra \(2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)\)
Do đó \(AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right).\)
Vậy (I) đúng.
• Ta xét (II):
Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.
Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:
DA = DA’ (theo cách dựng);
\(\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}\) (hai góc đối đỉnh);
BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC)
Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).
Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.
Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).
Chứng minh tương tự, ta được:
⦁ 2BE < AB + BC (5).
⦁ 2CF < AC + BC (6).
Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:
2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.
Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).
Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.
Vậy (II) đúng.
Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.
Ta chọn phương án C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. BI > IK = KD;
B. BI = IK = KD;
C. BI = IK < KD;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: ΔABC có hai đường trung tuyến BO, AM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của ΔABC.
Suy ra \[BI = \frac{2}{3}BO\] (tính chất trọng tâm của tam giác)
Ta có: ΔADC có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ΔABC.
Suy ra \[DK = \frac{2}{3}DO\] (tính chất trọng tâm của tam giác)
Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD)
Do đó: \[BI = DK = \frac{2}{3}DO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD\]
Suy ra \[IK = BD - BI - DK = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD.\]
Khi đó BI = IK = KD.
Câu 2
A. Trọng tâm của ΔABD;
B. Trọng tâm của ΔABC;
C. Trọng tâm của ΔABE;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Xét ΔABD có AC = CD nên C là trung điểm của AD
Do đó BC là đường trung tuyến của ΔABD.
Mà BM = 2MC nên \[BM = \frac{2}{3}BC\].
Ta có M nằm trên đường trung tuyến BC và thỏa mãn \[BM = \frac{2}{3}BC\] nên M là trọng tâm của ΔABD.
Câu 3
A. Hai tam giác ABC và AEF có cùng trọng tâm;
B. Hai tam giác ABC và AEC có cùng trọng tâm;
C. Hai tam giác ABC và ABF có cùng trọng tâm;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[\frac{2}{3};\]
B. \[\frac{1}{3};\]
C. \[\frac{1}{2};\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. 10 cm;
B. 4 cm;
C. 6 cm;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập