Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Gọi S là giao điểm PQ và RN. Cho các khẳng định sau:
(I) PS ⊥ NR;
(II) MN, PS và RQ đồng quy tại Q.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác MNP vuông tại M (MP < MN). Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP, trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN. Gọi S là giao điểm PQ và RN. Cho các khẳng định sau:
(I) PS ⊥ NR;
(II) MN, PS và RQ đồng quy tại Q.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Chỉ (I) sai;
B. Chỉ (II) sai;
C. Cả (I), (II) đúng;
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
ΔMPQ vuông tại M có MQ = MP nên là tam giác vuông cân tại M, do đó \[\widehat {MQP} = 45^\circ .\]
Suy ra \[\widehat {SQN} = \widehat {MQP} = 45^\circ \] (đối đỉnh)
Tương tự, ΔMNR vuông cân tại M có \[\widehat {MNR} = 45^\circ .\]
Trong ΔNSQ có: \[\widehat {SQN} = 45^\circ \] và \[\widehat {SNQ} = 45^\circ \]
Do đó \[\widehat {QSN} = 90^\circ \]nên QS ⊥ NS hay PS ⊥ NR.
Trong ΔNPR có các đường cao PS và MN cắt nhau tại Q.
Suy ra Q là trực tâm ΔNPR.
Ta có: MN, PS và RQ là ba đường cao của tam giác NPR nên đồng quy tại Q.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Ba đường AE, DM và BC đồng quy tại C;
B. AE ⊥ BD;
C. BC ⊥ AD;
D. Cả A, B, C đều là khẳng định sai.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Do MA = MC và \[\widehat {AMC} = 90^\circ \] nên tam giác AMC vuông cân tại M.
\[ \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {CAM} = 45^\circ \] (tính chất của tam giác cân)
\[ \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {DCE} = 45^\circ \] (đối đỉnh)
Tương tự ta có ∆BMD vuông cân tại M
\[ \Rightarrow \widehat {MDB} = \widehat {MDB} = 45^\circ \] (tính chất của tam giác cân)
Từ đó trong ∆DCE: \[\widehat {DCE} = \widehat {MDB} = 45^\circ \] hay \[\widehat {DCE} = \widehat {CDE} = 45^\circ \]
Suy ra \[\widehat {CED} = 90^\circ \] nên AC ⊥ BD hay AE ⊥ BD.
Trong tam giác ABD, hai đường cao AE và DM cắt nhau nên C là trực tâm của tam giác ABD.
Suy ra BC ⊥ AD.
Ta có AE, DM và BC là ba đường cao của tam giác ABD nên đồng quy tại C.
Vậy ta thấy rằng chỉ có phương án D sai.
Câu 2
A. I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC;
B. KD // AC;
C. BK ⊥ AD;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được \[AI = CI = HI = \frac{1}{2}AC.\]
Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.
⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên \[\widehat {KDI} = \widehat {HKD}\] (so le trong);
AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên \[\widehat {HDK} = \widehat {IKD}\] (so le trong).
Xét ∆KHD và ∆DIK có:
\[\widehat {HKD} = \widehat {KDI};\] KD là cạnh chung; \[\widehat {HDK} = \widehat {IKD}\]
Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).
Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)
Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:
HK = ID (chứng minh trên);
HD = DC (do DI là trung trực của HC).
Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \[\widehat {KDH} = \widehat {ICD}\] (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.
Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB
Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K
Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.
Câu 3
A. NK ⊥ MP;
B. MK ⊥ NP;
C. K là trực tâm của tam giác MNP;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. DK ⊥ AC;
B. AK ⊥ BD;
C. AK, DK, BC đồng quy;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. AK ⊥ CD;
B. CH ⊥ AD;
C. DK ⊥ AC.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. 3;
B. 2;
C. 1;
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập