Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, lấy I là trung điểm AC. Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và HC. Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được $AI=CI=HI=\frac{1}{2}AC.$

Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.

⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên $\widehat{KDI}=\widehat{HKD}$ (so le trong);

AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên $\widehat{HDK}=\widehat{IKD}$ (so le trong).

Xét ∆KHD và ∆DIK có:

$\widehat{HKD}=\widehat{KDI};$ KD là cạnh chung; $\widehat{HDK}=\widehat{IKD}$

Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).

Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:

HK = ID (chứng minh trên);

HD = DC (do DI là trung trực của HC).

Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{KDH}=\widehat{ICD}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.

Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB

Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K

Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.